⑴ 五個人分七張電影票
根據題意，將7張電影票分給五個人，每人至少一張，至多分兩張，
則其中2人2張，其他3人各1張，
則需要先將7張電影票分成5組，其中2組每組2張，其餘三組每組1張，
有①12、34、5、6、7；②12、3、45、6、7；③12、3、4、56、7；④12、3、4、5、67；
⑤1、23、45、6、7；⑥1、23、4、56、7；⑦1、23、4、5、67；
⑧1、2、34、56、7，⑨1、2、34、5、67；⑩1、2、3、45、67；
共10種情況；
再將分好的5組全排列，對應甲、乙、丙、丁、戊五個人，有A 5 5 =120種情況；
則不同分法有10×120=1200種；
故答案為：1200．
⑵ 出一些六年級上冊的北師大版的奧數題....要難一點的....經常出現的題目.....
一、填空
1．4m2 5 dm2=( )m2。
2．2h45min=( )h。(填分數)
5．圓的周長約是同圓直徑的( )倍。
7．一個數增加20％以後是360，這個數是( )。
8．一項工程，甲隊10天做完，乙隊12天做完，甲隊的工效是乙隊的( )％。
9．把一個圓割拼成一個近似的長方形，已知長方形的長是6.28cm，圓的面積是( )cm2。
二、判斷題(正確的畫「√」，錯誤的畫「×」。)
1．如果兩個圓的周長相等，那麼這兩個圓的面積也相等。
2．新培育的某種種子的發芽率是120％。
4．直徑是半徑的2倍。
三、選擇題(將正確答案的字母填在( )內。)
2．求7m比4m多百分之幾，正確列式是
A．(7－4)÷7
B．(7－4)÷4
C．1－4÷7
D．7÷4－1
A．意義和計算結果都相同
B．意義相同，計算結果不同
C．意義不同，計算結果相同
D．意義和計算結果都不相同
錯的。
A．男生比女生少20％
B．女生是男生的125％
C．女生比男生多20％
四、計算下列各題(能簡算的要簡算)
五、求圖中陰影部分的面積
六、列式計算下面各題
七、應用題
2．某養豬場，今年養豬400頭，比去年多養25％，去年養豬多少頭？(列方程解答)
3．王老師把2500元存入銀行，定期一年，年利率為4.27％，一年後可取回本金和利息共多少元？
剩3.2km沒修，這條路全長多少千米？
5．單獨做一項工程，甲需要10h，乙需要15h，如果甲乙合作，多
6．62.8cm的細鐵絲在一根圓鐵棒上剛好繞10圈，這根圓鐵棒橫截面的半徑是多少厘米？
7．小華讀一本書，計劃10天讀完，實際每天比計劃多讀3頁，結果提前2天讀完，這本書共有多少頁？
答 案
一、1．405
5．3.14
7．300
8．120％
9．12.56
二、1．× 2．× 3．× 4．×
三、1．C 2．B 3．C 4．C
五、6.88cm2
七、1．240筐
2．320頭
3．2607元
4．32km
5．3h
6．1cm
7．120頁
1電影票原價每張若干元,現在每張降低3元出售,觀眾增加一半,收入增加五分之一,一張電影票原價多少元？
解：設一張電影票價x元
(x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x
(1+1/5)x這一步是什麼意思，為什麼這么做
(x-3){現在電影票的單價}×（1+1/2){假如原來觀眾總數為整體1，則現在的觀眾人數為（1+2/1)}
左邊算式求出了總收入
(1+1/5）x{其實這個算式應該是：1x*（1+5/1） 把原觀眾人數看成整體1，則原來應收入1x元，而現在增加了原來的五分之一，就應該再*（1+5/1），減縮後得到（1+1/5x）}
如此計算後得到總收入，使方程左右相等
2甲乙在銀行存款共9600元，如果兩人分別取出自己存款的40%，再從甲存款中提120元給乙。這時兩人錢相等，求 乙的存款
答案
取40％後，存款有
9600×（1－40％）＝5760（元）
這時，乙有：5760÷2＋120＝3000（元）
乙原來有：3000÷（1－40％）＝5000（元）
3由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10顆奶糖後，巧克力糖占總數的60%。再增加30顆巧克力糖後，巧克力糖占總數的75%,那麼原混合糖中有奶糖多少顆？巧克力糖多少顆？
答案
加10顆奶糖，巧克力占總數的60%，說明此時奶糖佔40%，
巧克力是奶糖的60/40=1。5倍
再增加30顆巧克力，巧克力佔75%，奶糖佔25%，巧克力是奶糖的3倍
增加了3-1.5=1.5倍，說明30顆佔1.5倍
奶糖=30/1.5=20顆
巧克力=1.5*20=30顆
奶糖=20-10=10顆
小明和小亮各有一些玻璃球，小明說：「你有球的個數比我少1/4！」小亮說：「你要是能給我你的1/6，我就比你多2個了。」小明原有玻璃球多少個？
答案
小明說：「你有球的個數比我少1/4！」，則想成小明的球的個數為4份，則小亮的球的個數為3份
4*1/6＝2/3 （小明要給小亮2/3份玻璃球）
小明還剩：4-2/3＝3又1/3（份）
小亮現有：3+2/3＝3又2/3（份）
這多出來的1/3份對應的量為2，則一份里有：3*2＝6（個）
小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球為6個，則小明原有玻璃球4*6＝24（個）
一件工程原計劃40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人
解: 設需要增加x人
(40+x)(15-3)=40*15
x=10
所以需要增加10了
倉庫有一批貨物，運走的貨物與剩下的貨物的質量比為2：7.如果又運走64噸，那麼剩下的貨物只有倉庫原有貨物的五分之三。倉庫原有貨物多少噸？
解：第1次運走：2/（2+7）=2/9.
64/（1-2/9-3/5）=360噸。
答：原倉庫有360噸貨物。
甲、乙、丙三人進行跑步比賽.A、B、C三人對比賽結果進行預測.A說:「甲肯定是第一名.」B說:「甲不是最後一名.」C說:「甲肯定不是第一名.」其中只有一人對比賽結果的預測是對的.預測對的是 .
A、 C的預測截然相反,必一對一錯.因為只有一人對,不論A、C誰對,B必
錯,所以甲是最後一名,C對.
A、B、C、D、E和F六人一圓桌坐下.
B是坐在A右邊的第二人.
C是坐在F右邊的第二人.
D坐在E的正對面,還有F和E不相鄰.
那麼,坐在A和B之間的是 .
答案是E
甲、乙、丙、丁與小明五位同學進入象棋決賽.每兩人都要比賽一盤,每勝一盤得2分,和一盤得1分,輸一盤得0分.到現在為止,甲賽了4盤,共得了2分；乙賽了3盤,得了4分；丙賽了2盤，得了1分；丁賽了1盤，得了2分.那麼小明現在已賽了 盤，得了 分.
答案：2,3.
由題意可畫出比賽圖,已賽過的兩人之間用線段引連(見右圖).由圖看出小明賽了2盤.因為一共賽了六盤,共得12分,所以小明得了
12-(2+4+1+2)=3(分).
小趙的電話號碼是一個五位數,它由五個不同的數字組成.小張說：「它是84261.」小王說：「它是26048.」小李說：「它是49280.」小趙說：「誰說的某一位上的數字與我的電話號碼上的同一位數字相同，就算誰猜對了這個數字.現在你們每人都猜對了位置不相鄰的兩個數字.」這個電話號碼是 .
答案是86240.
因為每人猜對兩個數字,三人共猜對2*3=6(個)數字,而電話號碼只有5位,所以必有一位數字被兩人同對猜對.猜對的是左起第三位數字2.因為每人猜對的兩個數字不相鄰,所以張、李猜對的另一個數字分別在兩端,推知王猜對的數字是6和4,進一步推知張猜對8,李猜對0.電話號碼是86240.
小趙的電話號碼是一個五位數,它由五個不同的數字組成.小王說：「它是93715.」小張說：「它是79538.」小李說：「它是15239.」小趙說：「誰說的某一位上的數字與我的電話號碼上的同一位數字相同，就算誰猜對了這個數字.現在你們三人猜對的數字個數都一樣,並且電話號碼上的每一個數字都有人猜對.而每個人猜對的數字的數位都不相鄰」.這個電話號碼是 .
答案是19735.道理與上題類似，略去詳解。
A、B、C、D四人定期去圖書館，四人中A、B二人每隔8天(中間空7天,下同)、C每隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最後一天，四人剛好都去了圖書館，那麼從3月1日到12月31日只有一個人來圖書館的日子有____天.
答案是51天。
每24天有4天只有1人去圖書館.3月1日至12月31日有306天,
306/24=12…18，所以所求天數為4*12+3=51(天).
六年級六個班組織乒乓球單打比賽,每班派甲、乙兩人參賽，根據規則每兩人之間至多賽一場，且同班的兩人之間不進行比賽.比賽若干場後發現,除一班隊員甲以外,其他每人已比賽過的場數各不相同,那麼一班隊員乙已賽過____場.
答案是5
根據題意,有11名隊員比賽場數各不相同,並且每人最多比賽10場,所以除甲外的11名隊員比賽的場數分別為0~10.
已賽10場的隊員與除已賽0場外的所有隊員都賽過,所以已賽10場的隊員與已賽0場的隊員同班；
已賽9場的隊員與除已賽0、1場外的所有隊員都賽過,所以已賽9場的隊員與已賽1場的隊員同班；
同理,已賽8、7、6場的隊員分別與已賽2、3、4場的隊員同班；所以甲與已賽5場的隊員同班,即乙賽過5場.
注 本題可以求出甲也賽了5場,分別與已賽10、9、8、7、6場的隊員各賽1場.
劉毅、馬宏明、張健三個男孩都有一個妹妹,六人在一起打乒乓球,進行男女混合雙打,事先規定:兄妹不搭檔.第一盤:劉毅和小萍對張健和小英；第二盤:張健和小紅對劉毅和馬宏明的妹妹.小萍、小紅和小英各是誰的妹妹？
劉毅和小紅,馬宏明和小英,張健和小萍分別是兄妹.
四個人聚會,每人各帶了2件禮品,分贈給其餘三個人中的二人,試證明:至少有兩對人,每對人是互贈過禮品的.
設此四人為甲、乙、丙、丁並用畫在平面上的四個點分別表示他們，稱為它們的代表點,當某人(例如甲)贈了1件禮品給另一個(例如乙)時,就由甲向乙的代表點畫一條有指向的線,無非有以下兩個可能:
(1) 甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品.
(2) 上面的情形不發生.這時只有以下一個可能,即有一個人接受了3件禮品
(即多於2件禮品；因為一人之外總共還有三個人，所以至多收到3件禮品).(或許會有人說,還有兩個可能:有人只收到1件禮品及有人什麼禮品也沒收到.其實,這都可歸以「有一人接受了3件禮品」這個情形.因為,當有一人(例如甲)只接受了1件禮品的情形發生時,四人共帶來的8件禮品中還剩下7件在甲以外的三個人中分配,如果他們每人至多隻收到2件禮品,則收受禮品數將不超過6件,這不可能,所以至少有一人收到2件以上(即3件)禮品,同樣,當甲未收到禮品時,8件禮品分給乙、丙、丁三人，也必定有人收到3件禮品).
當(1)發生時,例如甲收到乙、丙的禮品,由於甲發出的禮品中至少有1件給了乙或丙,為確切計,設乙收到了甲的禮品,於是我們先有了一對人甲、乙),他們互贈了禮品，如果丙也收到甲的禮品,那麼又有了第二對互贈了禮品的人(甲、丙)；如果收到甲禮品的另一人是丁(如右圖)丁的2件禮品必定分贈了乙及丙(甲已收足了本情形中限定的2件禮品)丙或乙的另一件禮品給了丁,則問題也解決(這時另一對互贈了禮品的人便是(乙、丁)或(丙、丁)但丙的另一件禮品只能給丁,因為這時乙已收足了2件禮品,所以，當本情形發生時,至少能找到兩對互贈過1件禮品的人.
當(2)發生時,不失一般性,設甲收到了來自乙、丙、丁的各1件禮品，但甲又應向他們之中的某兩人(例如乙、丙)各贈送1件禮品,於是(甲、乙),(甲、丙)便是要找的兩對人.總上可知,證明完畢.
問：警察查找一輛闖禍汽車的車牌號（四位數），一位目擊者對數字很敏感，他提出情況說：「第一位數字最小，最後兩位數是最大的兩位偶數，前兩位數字乘積的4倍剛好比後兩位數少2。」警察由此判斷該車牌號可能是什麼（兩個答案）？
答：可能是3898或4698。因為最大的兩位偶數是98，（98－2）÷4＝24＝3×8＝4×6，所以車牌號可能是3898或4698。
⑶ 我要排列組合的題
1、將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數有（ ）
A、81 B、64 C、12 D、14
2、n∈N且n<55，則乘積（55-n）（56-n）……（69-n）等於（）
A、 B、 C、 D、
3、用1，2，3，4四個數字可以組成數字不重復的自然數的個數（）
A、64 B、60 C、24 D、256
4、3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則有不同分法的種數是（）
A、2160 B、120 C、240 D、720
5、要排一張有5個獨唱和3個合唱的節目表，如果合唱節目不能排在第一個，並且
合唱節目不能相鄰，則不同排法的種數是（）
A、 B、 C、 D、
6、5個人排成一排，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數有（）
A、 B、 C、 D、
7、用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小於50000的偶數有（）
A、24 B、36 C、46 D、60
8、某班委會五人分工，分別擔任正、副班長，學習委員，勞動委員，體育委員，
其中甲不能擔任正班長，乙不能擔任學習委員，則不同的分工方案的種數是（）
A、 B、
C、 D、
答案：
1-8 BBADCCBA
一、填空題
1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________
（2）若P2n3=10Pn3，則n=___________
2、從a、b、c、d這四個不同元素的排列中，取出三個不同元素的排列為
__________________________________________________________________
3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排兩端，則有_________種不同排法。
4、有一角的人民幣3張，5角的人民幣1張，1元的人民幣4張，用這些人民幣可以組成
_________種不同幣值。
二、解答題
5、用0，1，2，3，4，5這六個數字，組成沒有重復數字的五位數，
（1）在下列情況，各有多少個？
①奇數
②能被5整除
③能被15整除
④比35142小
⑤比50000小且不是5的倍數
6、若把這些五位數按從小到大排列，第100個數是什麼？
1 × × × ×
1 0 × × ×
1 2 × × ×
1 3 × × ×
1 4 × × ×
1 5 0 2 ×
1 5 0 3 2
1 5 0 3 47、7個人排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？
（1）甲排頭
（2）甲不排頭，也不排尾
（3）甲、乙、丙三人必須在一起
（4）甲、乙之間有且只有兩人
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰
（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）
（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序
（8）甲不排頭，乙不排當中
8、從2，3，4，7，9這五個數字任取3個，組成沒有重復數字的三位數
（1）這樣的三位數一共有多少個？
（2）所有這些三位數的個位上的數字之和是多少？
（3）所有這些三位數的和是多少？
答案：
一、
1、（1）5
（2）8
二、
2、abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc
3、8640
4、39
5、
①3× =288
②
③
④
⑤
6、
=120 〉100
=24
=24
=24
=24
=2
7、（1） =720
（2）5 =3600
（3） =720
（4） =960
（5） =1440
（6） =2520
（7） =840
（8）
8、（1）
（2）
（3）300×（100+10+1）=33300
排列與組合練習
1、若 ，則n的值為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
2、某班有30名男生，20名女生，現要從中選出5人組成一個宣傳小組，其中男、女學
生均不少於2人的選法為（ ）
A、 B、
C、 D、
3、空間有10個點，其中5點在同一平面上，其餘沒有4點共面，則10個點可以確定不
同平面的個數是（ ）
A、206 B、205 C、111 D、110
4、6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，不同的分法種數是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、由5個1，2個2排成含7項的數列，則構成不同的數列的個數是（ ）
A、21 B、25 C、32 D、42
6、設P1、P2…，P20是方程z20=1的20個復根在復平面上所對應的點，以這些點為頂
點的直角三角形的個數為（ ）
A、360 B、180 C、90 D、45
7、若 ，則k的取值范圍是（ ）
A、[5，11] B、[4，11] C、[4，12] D、4，15]
8、口袋裡有4個不同的紅球，6個不同的白球，每次取出4個球，取出一個線球記2
分，取出一個白球記1分，則使總分不小於5分的取球方法種數是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：
1、B 2、D 3、C 4、A 5、A 6、B
7、B 8、C
1、計算：（1） =_______
（2） =_______
2、把7個相同的小球放到10個不同的盒子中，每個盒子中放球不超1個，則有_______
種不同放法。
3、在∠AOB的邊OA上有5個點，邊OB上有6個點，加上O點共12個點，以這12個點為頂
點的三角形有_______個。
4、以1，2，3，…，9這幾個數中任取4個數，使它們的和為奇數，則共有_______種
不同取法。
5、已知
6、（1）以正方體的頂點為頂點的三棱錐有多少個？
（2）以正方體的頂點為頂點的四棱錐有多少個？
（3）以正方體的頂點為頂點的棱錐有多少個？
7、集合A中有7個元素，集合B中有10個元素，集合A∩B中有4個元素，集合C滿足
（1）C有3個元素；（2）C A∪B；（3）C∩B≠φ，C∩A≠φ，求這樣的集合C的個
數。
8、在1，2，3，……30個數中，每次取兩兩不等的三個數，使它們的和為3的倍數，
共有多少種不同的取法？
答案：
1、490
2、31
3、165
4、60
5、解：
6、解：（1）
（2）
（3）58+48=106
7、解：A∪B中有元素 7+10-4=13
8、解：把這30個數按除以3後的余數分為三類：
A={3，6，9，…，30}
B={1，4，7，…，28}
C={2，5，8，…，29}
（個）
高二•排列與組合練習題（1）
一、選擇題：
1、將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數有（ ）
A．81 B．64 C．12 D．14
2、n∈N且n<55，則乘積（55－n）（56－n）……（69－n）等於（ ）
A． B． C． D．
3、用1，2，3，4四個數字可以組成數字不重復的自然數的個數（ ）
A．64 B．60 C．24 D．256
4、3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則有不同分法的種數是（ ）
A．2160 B．120 C．240 D．720
5、要排一張有5個獨唱和3個合唱的節目表，如果合唱節目不能排在第一個，並且合唱節目不能相鄰，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
6、5個人排成一排，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數有（ ）
A． B． C． D．
7、用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小於50000的偶數有（ ）
A．24 B．36 C．46 D．60
8、某班委會五人分工，分別擔任正、副班長，學習委員，勞動委員，體育委員，
其中甲不能擔任正班長，乙不能擔任學習委員，則不同的分工方案的種數是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9、（1）（4P84+2P85）÷（P86－P95）×0！=___________
（2）若P2n3=10Pn3，則n=___________
10、從A．B．C．D這四個不同元素的排列中，取出三個不同元素的排列為__________________
11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排兩端，則有_________種不同排法。
12、有一角的人民幣3張，5角的人民幣1張，1元的人民幣4張，用這些人民幣可以組成_________種不同幣值。
三、解答題
13、用0，1，2，3，4，5這六個數字，組成沒有重復數字的五位數，
（1）在下列情況，各有多少個？
①奇數，②能被5整除，③能被15整除
④比35142小，⑤比50000小且不是5的倍數
（2）若把這些五位數按從小到大排列，第100個數是什麼？
14、7個人排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？
（1）甲排頭；
（2）甲不排頭，也不排尾；
（3）甲、乙、丙三人必須在一起；
（4）甲、乙之間有且只有兩人；
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰；
（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）；
（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序；
（8）甲不排頭，乙不排當中。
15、從2，3，4，7，9這五個數字任取3個，組成沒有重復數字的三位數。
（1）這樣的三位數一共有多少個？
（2）所有這些三位數的個位上的數字之和是多少？
（3）所有這些三位數的和是多少？
高二數學
排列與組合練習題
參考答案
一、選擇題：
1．B
2．B
3．A
4．D
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空題
9．（1）5；（2）8
10．abc，abd，acd，bac，bad，bcd，cab，cad，cbd，dab，dac，dbc
11．8640
12．39
三、解答題
13．（1）①3× =288
②
③
④
⑤
（2）略。
14．（1） =720
（2）5 =3600
（3） =720
（4） =960
（5） =1440
（6） =2520
（7） =840
（8）
15．（1）
（2）
（3）300×（100+10+1）=33300
例1．某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟體和盒裝磁碟，根據需要，軟體至少買3片，磁碟至少買2盒 ，則不同的選購方式共有 ( )
(A) 5種 (B) 6種 (C) 7種 (D) 8種
解法一 記購買的軟體數為x，磁碟數為y，依題意
當x＝3時，y＝2，3，4；當x＝4時，y＝2，3；當x＝5時，y＝2；當x＝6時，y＝2.上述的不等式組共有7組解，故不同的選購方式共有7種，選C．
解法二 依題意，(x，y)是在坐標平面上，位於三條直線L1：x＝3，L2：y＝2，L3：60x＋70y=500圍成的三角形的邊界及內部的點(坐標均為整數的點)，如圖7－2－1，這樣的點共有7個，故選C．
評述 這是一個計數的應用問題，解法一轉化為求不等式組的整數解的個數；解法二轉化求坐標平面上特定區域內的整點個數．事實上，兩種解法最終都採用了窮舉法．這是解決計數問題的基本方法之一．
例2．在一塊並排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟,為有利於作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小於6壟，則不同的種植方法共有多少種？
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○
○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
解法一 如表格所示，用×表示種植作物的地壟，О表示未種植作物的地壟，則不同的選壟方法共有6種，由於A、B是兩種作物，故不同的種植方法共有12種．
解法二 選壟方法可分為三類：第一類間隔為6壟，有1－8，2－9，3－10三種選法；第二類間隔為7壟，有1－9，2－10兩種選法；第三類間隔為8壟，只有1－10種選法，故選壟方法共6種，種植方法共12種．
評述 這是一個計數的應用問題，解法一採用了畫框圖的方法；解法二直接應用加法原理和乘法原理．
若將例1和例2判定為排列與組合的問題，並布列含排列數或組合數的算式，反而會將對問題的思考復雜化，難以得出正確的結論，由此可見，不應把計數問題都簡單歸結為排列和組合的問題，也不能只通過計算排列數或組合數求解．
例3．7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數．
(1)甲排中間；
(2)甲不排在兩端；
(3)甲、乙相鄰；
(4)甲在乙的左邊(不一定相鄰)；
(5)甲、乙、丙兩兩不相鄰．
解：(1)甲排中間，其餘6人任意排列，故共有 ＝720種不同排法．
(2)若甲排在左端或右端，各有 種排法，故甲不排在兩端共有 ＝3600種不同排法．
(3)法一：先由甲與除乙以外的5人(共6人)任意排列，再將乙排在甲的左側或右側(相鄰)，故共有 • ＝1440種不同排法．
法二：先將甲、乙合成為一個「元素」，連同其餘5人共6個「元素」任意排列，再由甲、乙交換位置，故共有 • ＝1440種不同排法．
(4)在7人排成一行形成的 種排法中，「甲左乙右」與「甲右乙左」的排法是一一對應的(其餘各人位置不變)，故甲在乙的左邊的不同排法共有 ＝2520種不同解法．
(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個「空」，再將甲、乙、丙插入其中的三個「空」，每「空」1人，故共有 ＝1440種不同的排法．
評述 這是一組排隊的應用問題，是一類典型的排列問題，附加的限制條件常是定位與限位，相鄰與不相鄰，左右或前後等．
例4．用0，1，2，3，4，5六個數字組成無重復數字的五位數，分別求出下列各類數的個數：
(1)5的倍數；
(2)比20300大的數；
(3)不含數字0，且1，2不相鄰的數．
解：(1)5的倍數可分為兩類：個位數的位置上的數字是0或5，
個位數字是0的五位數有 個；
個位數字是5的五位數有4 個；
故5的倍數共有 ＋4 ＝216個
(2)比20300大的五位數可分為三類：
第一類：3××××，4××××，5××××；有3 個；
第二類：21×××，23×××，24×××，25×××，有4 個；
第三類：203××，204××，205××，有3 個．
故比20300大的五位數共有3 ＋4 ＋3 ＝474個．
(3)組成不含數字0，且1，2不相鄰的數可分為兩步，第一步：將3，4，5三個數字排成一行；第二步：將1，2插入第一步所形成四個「空」中的兩個「空」，故共有 ＝72個．
評述 這是一組組成無重復數字的多位數的排數問題，也是一類典型的排列問題，常見的附加條件是倍數關系，大小關系、相鄰關系等．應當注意的是排隊問題不會有元素重復的問題，而排數問題必須規定無重復數字才是排列問題．
例5 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同取法共有 ( )
(A) 150種 (B) 147種 (C) 144種 (D) 141種
分析 取出的四個點不共面的情況要比取出的四個點共面的情況復雜，可採用間接法，先不加限制任取四點，再減去四面共點的取法．
解 在10個點中任取4點，有 種取法，取出的4點共面有三類(如圖7－2－3)．
第一類：共四面體的某一個面，有4 種取法；
第二類：過四面體的一條棱上的三點及對棱的中點，如圖中的平面ABE，有6種取法；
第三類：過四面體的四條棱的中點，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面EFGM，共有3個．
故取4個不共面的點的不同取法共有 －(4 ＋6＋3)＝141(種)
因此選D
評述 由點組成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，常見的附加條件是點共線與不共線，點共面與不共面，線共面與不共面等．
例6 (1)設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒內放一個球，並且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，這樣的投放方法的總數為 ；
(2)四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共
有 種．
解(1)第一步：投放2個球，使其編號與盒子編號相同，有 種投法；第二步：投入其餘3個球，以第一步的投法是1，2號球投入1，2號盒子內為例，其餘3個球由於不能再出現球號與盒號相同的投法，如框圖所示有2種投法．
④
⑤
③
⑤
③
④
3 4 5 3 4 5
綜上可知，符合題意的投放方法共有 ×2＝20種．
(2)第一步：取出兩個小球( 種取法)合成一個「元素」，與另外兩個球合成三個「元素」；第二步：將3個元素放入4個盒中的3個盒子，每個盒子放一個元素，形成一個空盒( 種放法)，故符合題意的放法共有 • ＝144種．
評述 這是一組具有一定綜合性的計數問題，應當注意，第(1)題如果判定第二步餘下3球可任意放入餘下3 個盒子，列出 • 的算式，就會出錯．